高2数学圆的方程

高2数学圆的方程


设有定圆X^2+Y^2=16,及定点P(2,1)过P作直线与圆交于A,B两点.
(1)若直线AB斜为3,求直线AB方程及弦长AB
(2)求AB中点M轨迹方程
1。因为斜率是3,代入得:y=3x+b
又过P点,将P(2,1)代入,得b=-5,
所以直线方程y=3x-5
用点到直线的距离公式很容易就求出
原点到直线的距离的平方:L~2=5/2
又:
玄的一半的平方+ 原点到直线的距离的平方=半径的平方
所以玄长求得出:x=3根号6
2。设直线与圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2)
因为两点都是圆上的点,所以:
x1^2+y1^2=16①      x2^2+y2^2=16②
①-②,得:
x1^2+y1^2-x2^2-y2^2=0
整理一下,得:
(x1-x2)(x1+x2)=(y2-y1)(y2+y1)
又y2-y1/x1-x2=-k=-3 即斜率
x1+x2=2x中点    y2+y1=2y中点
将等式变形一下:
y2-y1/x1-x2=x1+x2/y2+y1,代入以知条件得:
-3=x中点/y中点
所以中点的轨迹方程为:-3y=x
(1)设直线为y=3x+b,
因其过P点,将(2,1)代入,得b=-5,
则直线方程y=3x-5
联立直线与圆的方程,可得A,B坐标,再用两点距离公式即可,不难
(2)设直线为y=kx+b,
因其过P点,将(2,1)代入,得b=1-2k
即直线为y=kx+1-2k,
因为直线与圆交于两点,则X^2+(kx+1-2k)^2=16
且两个根即为两交点横坐标,
整理(1+k^2)X^2+2k(1-2k)x+(1-2k)^2-16=0
所以Xa+Xb=2k(2k-1)/(1+k^2)
则中点M横坐标为k(2k-1)/(1+k^2)
因为中点也要满足直线方程,代入
得M纵坐标为(1-2k)/(1+k^2)
所以中点方程易得y=-x/k 
(1)设AB的切距为b有AB的方程
y=3x+a
将P(2,1) 代入
1=6+b
b=5
所以AB的方程为y=3x-5
将这个代如圆方程
x^2+(3x-5)^2=16
解出来有两个点,用空间两点距离公式求出来就是弦长.
(2)
设AB的方程为:
y=kx+b
代入圆公式:
x^2+(kx+b)^2=16
解的两个带待定系数k,b的两个点(自己解啦,)
我假设答案为(x1,y1)(x2,y2)
那么AB中点为C=((x1+x2)/2,(y1+y2)/2).
将P带入直线公式有 1=2k+b
b=1-2k
将次带入((x1+x2)/2,(y1+y2)/2).将k消掉.
那么C(x',y')
可以写做
x'=f1(b)
y'=f2(b)
用这两个方程把一个代如另一个,b就消掉了,剩下的就是答案 


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